Иногда считают аксиоматический метод только методом обоснования, но не методом развития содержания математики. Это мнение, как нам кажется, ошибочно.

Действенность аксиоматического метода можно подтвердить следующими примерами. Допустим, что и – две какие либо изоморфные интерпретации некоторой, заданно формально системы аксиом В. Каждая теорема, доказанная только с помощью В относительно объектов интерпретации , в тех же терминах, но с иным, в зависимости от явно выраженных элементов, содержанием, справедлива относительно соответственных объектов интерпретации , и обратно. Иначе говоря, доказываемые теоремы обладают всеобщностью, благодаря чему нет необходимости передоказывать их для объектов каждой интерпретации отдельно. Как уже доказывалось, характеризуемые системой аксиом Пеано множества количественных и порядковых чисел изоморфны, благодаря этому все теоремы, доказываемые с помощью этой системы аксиом, имеют силу как в области количественных, так и порядковых чисел. Проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости и обратно. Благодаря этому имеет место принцип двойственности, творческое значение которого хорошо знакомо всякому изучавшему проективную геометрию. Метод координат Декарта позволяет пространство Евклида изоморфно отобразить на область операций линейной алгебры, и это является объективной основой существования аналитической геометрии. Еще более сильные примеры использования изоморфизма дают современные алгебры и топология.

При аксиоматическом изучении объектов и отношений между ними существенную роль играет разработка регулярных методов – алгоритмов (как иногда говорят – конструктивных методов), позволяющих по определенным правилам решать вопросы, относящиеся к изучаемым объектам и отношениям. Так, в теории геометрических построений разрабатываются методы (метод подобия, метод симметрии и т. п.), которые позволяют выполнить построение (с помощью циркуля и линейки) фигур, в предположении разрешимости некоторых, принятых за исходные задач (деление отрезка на равные части, построение угла, равного данному, и т. п.). В теории уравнений разрабатывают методы нахождения корней уравнений и т.п. Каждая теория, как правило, разрабатывает свои, специфически характерные для изучаемых объектов и отношений алгоритмы. И вот сила современного аксиоматического метода состоит еще в том, что он позволяет переносить алгоритмы одной теории в другие теории и тем самым способствовать их развитию.

Если из непротиворечивой системы аксиом исключить, а потом добавить некоторые новые аксиомы, то полученные системы аксиом, в случае их непротиворечивости, определяют новые теории, изучение которых очень часто освещает с новой стороны положения исходной теории. Таким путем, например, были созданы гиперболическая (Гаусс, Бойяи и Лобачевский) и не архимедова (Гильберт) геометрии, изучение которых позволило исчерпывающим образом выяснить значение аксиом параллельности и Архимеда в самой геометрии Евклида. Если непротиворечивая система А содержит n взаимно независимых аксиом, то все теоремы, которые можно доказать с помощью n-k этих аксиом, справедливы во всякой теории, содержащей эти n-k аксиом. Так, когда Гильберт показал, что для обоснования учения о площадях нет необходимости привлекать аксиому Архимеда, тем самым было доказано, что учение о площадях одинаково как для Евклидовой, так и для не архимедовой геометрии. Если непротиворечивые системы А и В содержат по n-1 одинаковых аксиом, а их n аксиомы противоположны, то и доказанные в А и В с n-ми аксиомами теоремы будут противоположны. В познавательном отношении это весьма важный факт. Зная, что теорема о сумме углов треугольника, утверждение существования подобных треугольников и т. п. эквивалентны аксиоме параллельных, и зная, что гиперболическая геометрия отливается от Евклидовой только аксиомой о параллельных, мы сразу может сказать, что в гиперболическом пространстве нет подобных фигур и что сумма углов треугольника не равна 2π.

1.Вейль Герман. Математическое мышление. Пер. с нем. – М.: Наука, 1989.